3.501 \(\int \csc ^2(e+f x) (b \sec (e+f x))^n \, dx\)

Optimal. Leaf size=73 \[ -\frac{b \sqrt{\sin ^2(e+f x)} \csc (e+f x) (b \sec (e+f x))^{n-1} \, _2F_1\left (\frac{3}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right )}{f (1-n)} \]

[Out]

-((b*Csc[e + f*x]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[
Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0794675, antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 19, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.105, Rules used = {2632, 2576} \[ -\frac{b \sqrt{\sin ^2(e+f x)} \csc (e+f x) (b \sec (e+f x))^{n-1} \, _2F_1\left (\frac{3}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right )}{f (1-n)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^n,x]

[Out]

-((b*Csc[e + f*x]*Hypergeometric2F1[3/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[
Sin[e + f*x]^2])/(f*(1 - n)))

Rule 2632

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*(a*Sec[e
+ f*x])^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(a*Cos[e + f*x])^(m - 1)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 1))/b^2, Int[1/((a*Co
s[e + f*x])^m*(b*Sin[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x]

Rule 2576

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b^(2*IntPar
t[(n - 1)/2] + 1)*(b*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*(a*Cos[e + f*x])^(m + 1)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/
2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2])/(a*f*(m + 1)*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]), x] /; FreeQ[{a,
b, e, f, m, n}, x] && SimplerQ[n, m]

Rubi steps

\begin{align*} \int \csc ^2(e+f x) (b \sec (e+f x))^n \, dx &=\left (b^2 (b \cos (e+f x))^{-1+n} (b \sec (e+f x))^{-1+n}\right ) \int (b \cos (e+f x))^{-n} \csc ^2(e+f x) \, dx\\ &=-\frac{b \csc (e+f x) \, _2F_1\left (\frac{3}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right ) (b \sec (e+f x))^{-1+n} \sqrt{\sin ^2(e+f x)}}{f (1-n)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 14.7078, size = 2638, normalized size = 36.14 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Csc[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^n,x]

[Out]

(Cot[(e + f*x)/2]*Csc[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*(-(AppellF1[-1/2, n, -
n, 1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^n) + (3*AppellF1[1/2, n, -n
, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n,
-n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Ta
n[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2
)))/(2*f*(-(Csc[(e + f*x)/2]^2*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*(-(AppellF1[-1/2, n, -n, 1/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^n) + (3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + A
ppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))/4 + (Cot[(e + f*x
)/2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*(-((Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(-(n*AppellF1[1/2, n, 1 - n, 3
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) - n*AppellF1[1/2, 1 + n, -n,
3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])) - n*AppellF1[-1/2, n, -n,
1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(-(Sec[(e + f*x)/2]^
2*Sin[e + f*x]) + Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + (3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*Tan[(e + f*x)/2])/(3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]
^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*n*Appel
lF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(e + f*x)/2]^3)/(3*Ap
pellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[
(e + f*x)/2]^2) + (3*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(e + f*x)/2]^2*((n*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
+ AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*AppellF1[1/
2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(e + f*x)/2]^2*(2*n*(Appell
F1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*((n*AppellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*n*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-3*(1
- n)*AppellF1[5/2, n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]
)/5 + (6*n*AppellF1[5/2, 1 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e
+ f*x)/2])/5 + (3*(1 + n)*AppellF1[5/2, 2 + n, -n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x
)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5)))/(3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(App
ellF1[3/2, n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2))/2 + (n*Cot[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x
])^(-1 + n)*(-(AppellF1[-1/2, n, -n, 1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)
/2]^2)^n) + (3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Tan[(
e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n, -n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*n*(AppellF1[3/2, n, 1
- n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + n, -n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(
e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*S
ec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.295, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \csc \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \left ( b\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^n,x)

[Out]

int(csc(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^n,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \csc \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^n*csc(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \csc \left (f x + e\right )^{2}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(f*x + e))^n*csc(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{n} \csc ^{2}{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(f*x+e)**2*(b*sec(f*x+e))**n,x)

[Out]

Integral((b*sec(e + f*x))**n*csc(e + f*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \csc \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^n,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^n*csc(f*x + e)^2, x)